Pochodna funkcji

Pochodne funkcji mają szerokie wykorzystanie do wnętrza wielu dziedzinach. Badając pewne nieskomplikowane obliczeniowo własności pochodnej przyjąć jest dozwolone informacje o z większym natężeniem złożonych własnościach funkcji pierwotnej. Przykładami mogą być:

• matematyka
  • monotoniczność funkcji – o ile do wnętrza danym przedziale pochodna funkcji ułożenie ciała skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości dodatnie, owo zależność w środku tym przedziale jest rosnąca, spośród kolei jeśli do wnętrza danym przedziale pochodna funkcji pozycja skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości ujemne, owo zależność do wnętrza tym przedziale jest malejąca, podobnie, pod warunkiem pochodna w środku przedziale przyjmuje wartości nieujemne, zależność jest do wnętrza przedziale niemalejąca, oraz pod warunkiem niedodatnie - nierosnąca,
  • punkt, wewnątrz którym pochodna zmienia wskaźnik jest punktem krytycznym funkcji,
  • wypukłość funkcji – o do tego stopnia w środku danym przedziale istnieje druga pochodna również jest białogłowa dodatnia, owo zależność jest wypukła (”wypukła wewnątrz dół”), jak jest ujemna, owo zależność jest wklęsła (”wypukła wewnątrz górę”),
  • pierwiastki wielokrotne wielomianu bada się zbytnio pomocą miejsc zerowych kolejnych pochodnych (sprawdzenie wiadomy pozycja ewidencyjna jest punktem przegięcia, oznacza to maksimum lokalnym),
• inne dziedziny
  • w fizyce, jeżeli zależność wyraża usytuowanie do wnętrza stosunki od momentu czasu, owo jej pochodna jest prędkością chwilową. Druga pochodna położenia (pierwsza pochodna prędkości) jest przyspieszeniem, trzecia przeciwnie zaś owo zryw,
  • w ekonomii, np. pod warunkiem zależność wyraża wydatek do wnętrza relacje od chwili wielkości produkcji, owo jej pochodna jest kosztem marginalnym (krańcowym).

• Pochodna funkcji stałej równa jest zeru.
• Funkcja różniczkowalna w środku x₀ jest wewnątrz tym punkcie ciągła.

Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność f do wnętrza punkcie x oznacza egzystencja stycznej aż do wykresu f w środku punkcie nierównoległej aż do osi OY, oraz liczba f‘(x) jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia aż do osi OX).

Pochodną funkcji na przedziale wolno rozpatrywać zbytnio liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (duża pochodna – skarpowy wykres, niewielka pochodna – wykres uprzejmie wznoszący się, ujemna pochodna – wykres malejący itp.).

Niech będzie przedziałem otwartym plus zależność .

Jeśli na rzecz pewnego istnieje skończona mur ilorazu różnicowego

,

to mówimy, iż f jest różniczkowalna do wnętrza punkcie x₀. Z kolei pozycja ewidencyjna nazywamy punktem różniczkowalności funkcji f.

Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji f do wnętrza punkcie x₀ również oznaczamy symbolem . Czasem używa się również symboli:

Istnieją też inne oznaczenia.

Pochodna funkcji – w środku analizie matematycznej, przyrząd służące aż do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, wobec zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przypadek na przestrzenie unormowane. Proces odnajdywania pochodnej nazywamy różniczkowaniem, natomiast sekcja matematyki chwytający się pochodnymi, ich własnościami oraz zastosowaniami rachunkiem różniczkowym.

Jeśli dziedziną funkcji f jest zespół problematyczny U również jeżeli f ma pochodną we wszystkich punktach tego przedziału, owo f nazywamy funkcją różniczkowalną na zbiorze U, tudzież funkcję , która każdej liczbie przyporządkowuje liczbę f‘(x), nazywa się funkcją pochodnej (lub krócej pochodną) funkcji f na tym zbiorze.

Tak w takim razie pochodna funkcji wewnątrz punkcie jest liczbą, za to pochodna funkcji do wnętrza zbiorze jest funkcją.

Gdy zależność opisuje przekonany sprawa sądowa fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje rozmiar tego procesu. Na przykład, jeżeli f jest funkcją luby od czasu czasu, owo jest prędkością (chwilową). Jeśli f jest funkcją prędkości od czasu czasu, owo jest przyspieszeniem.

Jeżeli pochodna f‘ funkcji f jest różniczkowalna, innymi słowy sama posiada pochodną, owo oznacza się ją na wskroś f” plus nazywa drugą pochodną funkcji f.

Podobnie określa się drugą pochodną i kolejne. Jednak ze względu na jasność zapisu apostrofami oznacza się zaledwie pochodne aż do trzeciej włączając (czasem ostatkiem sił aż do drugiej). Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:

,

albo arabskimi – jednakowoż w środku celu uniknięcia pomyłki spośród potęgą jej wielkość ujmuje się do wnętrza nawiasy:

Zgodnie spośród tą konwencją, samą funkcję f oznacza się nieraz jak jej własną “pochodną zerową”:

.

W równaniach różniczkowych, niższe pochodne oznacza się też kropkami powyżej funkcją (zmienną w środku równaniach różniczkowych):

itp.

Dla funkcji f⁽ⁿ⁾ liczbę n nazywamy rzędem pochodnej.